Question

已知函數(shù)f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，則函數(shù)y=[f（x）]²+f（x²）的值域?yàn)開(kāi)     ．

Answer 1

【答案】分析：先求出函數(shù)y=[f（x）]²+f（x²）的定義域，然后將函數(shù)化成關(guān)于log₃x的二次函數(shù)，進(jìn)行配方找出對(duì)稱(chēng)軸，而0≤log₃x≤1，利用對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系求出最值，即可求出值域．
解答：解：∵f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，
∴y=[f（x）]²+f（x²）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213421489587956/SYS201310232134214895879010_DA/0.png">
解得1≤x≤3，即定義域?yàn)閇1，3]．
∴0≤log₃x≤1．
又y=[f（x）]²+f（x²）
=（2+log₃x）²+2+log₃x²
=（log₃x）²+6log₃x+6
=（log₃x+3）²-3，
∵0≤log₃x≤1，
∴6≤y≤13．
故函數(shù)的值域?yàn)閇6，13]．
故答案為：[6，13]
點(diǎn)評(píng)：本題以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體考查二次函數(shù)的值域，屬于求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是定義域，屬于基本題．