Question

函數y=Asin（ωx+∅）（A＞0，ω＞0，|∅|＜π）的圖象上有兩個相鄰的最高點P（

π

4

，5）和最低點Q（-

π

12

，-5）．求
（Ⅰ）此函數的解析式；
（Ⅱ）說明此函數的圖象可由y=sinx的圖象經過怎樣的變換得到？

Answer 1

分析：（I）由函數的最值，得到A=5．根據兩個相鄰最值點的距離，得到周期T=

2π

3

，利用周期公式算出ω=3．再根據x=

π

4

時函數有最大值5建立關于∅的等式，解出∅=-

π

4

即可得到所求函數的解析式；
（II）根據三角函數圖象平移、伸縮的公式，結合函數的表達式加以計算，即可得出由y=sinx的圖象到所求函數的圖象所需經過的變換．

解答：解：（I）∵圖象上有兩個相鄰的最高點P（

π

4

，5）和最低點Q（-

π

12

，-5）．
∴振幅A=5，函數的周期T=2[

π

4

-（-

π

12

）]=

2π

3

，
可得

2π

ω

═

2π

3

，解之得ω=3．
可得函數表達式為y=5sin（3x+∅）．
∵當x=

π

4

時，函數有最大值5，
∴5=5sin（3•

π

4

+∅），得sin（

3π

4

+∅）=1，
可得

3π

4

+∅=

π

2

+2kπ（k∈Z），結合|∅|＜π，取k=0得∅=-

π

4

．
∴此函數的解析式為y=5sin（3x-

π

4

）；
（2）由三角函數的變換公式，將y=sinx的圖象向右平移

π

4

單位，得到y=sin（x-

π

4

）的圖象；
再將所得圖象上點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的

1

3

倍，得到y=sin（3x-

π

4

）的圖象；
最后將所得圖象上點的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的5倍，得到y=5sin（3x-

π

4

）的圖象．
∴函數y=5sin（3x-

π

4

）的圖象，可由y=sinx的圖象先向右平移

π

4

單位，再將所得圖象上點的縱坐標不變且橫坐標縮短為原來的

1

3

倍，最后將所得圖象上點的橫坐標不變且縱坐標伸長為原來的5倍而得到．

點評：本題給出正弦型三角函數的圖象滿足的條件，求它的解析式．著重考查了三角函數的周期公式、三角函數的圖象的變換與解析式的求法等知識，屬于中檔題．