Question

【題目】在數列{an}中，a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N* ．
（1）證明數列{an﹣n}是等比數列；
（2）求數列{an}的前n項和Sn；
（3）證明不等式Sn+1≤4Sn ， 對任意n∈N*皆成立．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題設an+1=4an﹣3n+1，得an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），n∈N*．

又a1﹣1=1，所以數列{an﹣n}是首項為1，且公比為4的等比數列．

（2）解：由（1）可知an﹣n=4n﹣1，于是數列{an}的通項公式為an=4n﹣1+n．

所以數列{an}的前n項和 ．

（3）證明：對任意的n∈N*， = ．

所以不等式Sn+1≤4Sn，對任意n∈N*皆成立．

【解析】（1）整理題設an+1=4an﹣3n+1得an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），進而可推斷數列{an﹣n}是等比數列．（2）由（1）可數列{an﹣n}的通項公式，進而可得{an}的通項公式根據等比和等差數列的求和公式，求得Sn ． （3）把（2）中求得的Sn代入Sn+1﹣4Sn整理后根據 證明原式．
【考點精析】利用等比關系的確定和數列的前n項和對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．