Question

兩縣城A和B相距20km，現計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y，統計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數為k，當垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065，
（1）將y表示成x的函數；
（2）討論（1）中函數的單調性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點到城A的距離；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）如圖，由題意知AC⊥BC， ， ， 其中當時，y=0.065， 所以k=9， 所以y表示成x的函數為。
（2）， ， 令y′=0得， 所以，即， 當時，，即y′＜0， 所以函數為單調減函數； 當時，，即y′＞0， 所以函數為單調增函數， 所以當時，即當C點到城A的距離為時， 函數有最小值。