Question

兩縣城A和B相距20 km，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外，以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度為對(duì)城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y，統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為0.065，
(Ⅰ)將y表示成x的函數(shù)；
(Ⅱ)討論(Ⅰ)中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)如圖，由題意知，AC⊥BC，BC²=400-x²， 
，
其中當(dāng)時(shí)，y=0.065，所以，k=9，
所以，y表示成x的函數(shù)為。
 (Ⅱ)，
 ，
令y′=0得，所以，，即x=，
當(dāng)0＜x＜時(shí)，，即y′＜0，所以，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)＜x＜20時(shí)，，即y′＞0，所以，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，
所以，當(dāng)x=時(shí)，即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為時(shí)，
函數(shù)有最小值。