Question

一個如圖所示的不規則形鐵片，其缺口邊界是口寬4分米，深2分米（頂點至兩端點所在直線的距離）的拋物線形的一部分，現要將其缺口邊界裁剪為等腰梯形．
（1）若保持其缺口寬度不變，求裁剪后梯形缺口面積的最小值；
（2）若保持其缺口深度不變，求裁剪后梯形缺口面積的最小值．

Answer 1

（1）6，（2）.

試題分析：（1）由題意得：保持其缺口寬度不變，需在A,B點處分別作拋物線的切線. 以拋物線頂點為原點，對稱軸為軸，建立平面直角坐標系，則，從而邊界曲線的方程為，．因為拋物線在點處的切線斜率，所以，切線方程為，與軸的交點為．此時梯形的面積平方分米，即為所求．（2）若保持其缺口深度不變，需使兩腰分別為拋物線的切線. 設梯形腰所在直線與拋物線切于時面積最小．此時，切線方程為，其與直線相交于，與軸相交于．此時，梯形的面積，．故，當時，面積有最小值為．
解：（1）以拋物線頂點為原點，對稱軸為軸，建立平面直角坐標系，則，
從而邊界曲線的方程為，．
因為拋物線在點處的切線斜率，
所以，切線方程為，與軸的交點為．
此時梯形的面積平方分米，即為所求．
（2）設梯形腰所在直線與拋物線切于時面積最小．
此時，切線方程為，
其與直線相交于，
與軸相交于．
此時，梯形的面積，．……11分
（這兒也可以用基本不等式，但是必須交代等號成立的條件）
=0，得，
當時，單調遞減；
當時，單調遞增，
故，當時，面積有最小值為．