Question

數列{a_n}中，已知對任意n∈N^*，a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1，則

a

2 1

+

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

=

1

2

(9n-1)

．

Answer 1

分析：設數列{a_n}的前n項和為S_n，則Sn=3n-1，當n≥2時，Sn=3n-1-1．即可得出a_n=S_n-S_n-1．進而得到

a

2 n

，再利用等比數列的前n項和公式即可得出．

解答：解：設數列{a_n}的前n項和為S_n，則Sn=3n-1，當n≥2時，Sn=3n-1-1．
∴a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-1-（3^n-1-1）=2×3^n-1，當n=1時也成立．
∴

a

2 n

=（2×3^n-1）²=4×9^n-1．
∴

a

2 1

+

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

=4（9⁰+9¹+…+9^n-1）=4×

9n-1

9-1

=

1

2

(9n-1)．
故答案為：

1

2

(9n-1)．

點評：本題考查了關系a_n=S_n-S_n-1、等比數列的前n項和公式等基礎知識與基本方法，屬于中檔題．