Question

（本小題滿分14分）

已知函數

（Ⅰ）求函數的單調區間和極值；

（Ⅱ）已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，證明當時，

（Ⅲ）如果，且，證明

Answer 1

【解析】本小題主要考查導數的應用，利用導數研究函數的單調性與極值等基礎知識，考查運算能力及用函數思想分析解決問題的能力，滿分14分

（Ⅰ）解：f’

令f’(x)=0,解得x=1

當x變化時，f’(x)，f(x)的變化情況如下表

X	()	1	()
f’(x)	+	0	-
f(x)		極大值

所以f(x)在()內是增函數，在()內是減函數。

函數f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=

（Ⅱ）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)

令F(x)=f(x)-g(x),即

于是

當x>1時，2x-2>0,從而’(x)>0,從而函數F（x）在[1,+∞)是增函數。

又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).

Ⅲ)證明：（1）

若

（2）若

根據（1）（2）得

由（Ⅱ）可知，>,則=，所以>,從而>.因為，所以，又由（Ⅰ）可知函數f(x)在區間（-∞，1）內事增函數，所以>,即>2.