Question

在如圖所示的空間直角坐標系O-xyz中，原點O是BC的中點，A點坐標為(

3

2

，

1

2

，0)，D點在平面yoz上，BC=2，∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（Ⅰ）求D點坐標；
（Ⅱ）求cos＜

AD，

BC

＞的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在平面yoz上，通過解直角三角形即可求得D點的坐標；
（Ⅱ）由已知A點的坐標及（Ⅰ）中求得的D的坐標，得到向量

AD

的坐標，求出向量

BC

的坐標，然后由向量的夾角公式求解．

解答：解：（Ⅰ）如圖，

在平面yoz上，過D點作DH⊥BC，垂足為H．
在△BDC中，由∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，
得BD=

1

2

BC=1，DH=BDsin∠DBH=1×

3

2

=

3

2

，BH=

1

2

BD=

1

2

，OH=

1

2

，
∴D點坐標為(0，-

1

2

，

3

2

)；
（Ⅱ）由A(

3

2

，

1

2

，0)， D(0，-

1

2

，

3

2

)，得

AD

=(-

3

2

，-1，

3

2

)，
由題設知：B（0，-1，0），C（0，1，0），
∴

BC

=(0，2，0)，

AD

•

BC

=(-

3

2

，-1，

3

2

)•(0，2，0)=-2，
|

AD

|=

(- 3 2 )2+(-1)2+( 3 2 )2

=

10

2

，|

BC

=2|，
∴cos＜

AD

， 

BC

＞ =

AD • BC

| AD |•| BC |

=

-2

10 2 ×2

=-

10

5

．

點評：本題考查了空間中點的坐標的求解，考查了利用空間向量求異面直線所成的角，考查了學生的計算能力，是中檔題．