Question

已知曲線C₁:y=x²與C₂:y=－(x－2)²,直線l與C₁、C₂都相切，求直線l的方程.

Answer 1

y=0或y=4x－4

解析:

利用解方程組求交點,利用直線間的位置和待定系數法求斜率.

設l與C₁相切于點P(x₁,x₁²),與C₂相切于Q(x₂,－(x₂－2)²)

對于C₁：y′=2x,則與C₁相切于點P的切線方程為

y－x₁²=2x₁(x－x₁),即y=2x₁x－x₁²                                                                            ①

對于C₂：y′=－2(x－2),與C₂相切于點Q的切線方程為y+(x₂－2)²=－2(x₂－2)(x－x₂),即y=－2(x₂－2)x+x₂²－4                                                       ②

∵兩切線重合，∴2x₁=－2(x₂－2)且－x₁²=x₂²－4,解得x₁=0,x₂=2或x₁=2,x₂=0

∴直線l方程為y=0或y=4x－4