Question

已知曲線C₁：

x=-2+cost y=1+sint

 （t為參數），C₂：

x=4cosθ y=3sinθ

（q為參數）．
（Ⅰ）化C₁，C₂的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（Ⅱ）過曲線C₂的左頂點且傾斜角為

π

4

的直線l交曲絨C₁于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析：（1）把參數方程利用同角三角函數的基本關系消去參數，化為普通方程，從而得到它們分別表示什么曲線；
（2）先求出過曲線C₂的左頂點且傾斜角為

π

4

的直線l參數方程，然后代入曲絨C₁，利用參數的應用進行求解的即可．

解答：解：（1）∵C₁：

x=-2+cost y=1+sint

 （t為參數），C₂：

x=4cosθ y=3sinθ

（q為參數），
∴消去參數得C₁：（x+2）²+（y-1）²=1，C₂：

x2

16

+

y2

9

=1，
曲線C₁為圓心是（-2，1），半徑是1的圓．
曲線C₂為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長軸長是8，短軸長是6的橢圓．
（2）曲線C₂的左頂點為（-4，0），則直線l的參數方程為

x=-4+ 2 2 s y= 2 2 s

（s為參數）
將其代入曲線C₁整理可得：s²-3

2

s+4=0，設A，B對應參數分別為s₁，s₂，
則s₁+s₂=3

2

，s₁s₂=4，
所以|AB|=|s₁-s₂|=

(s1+s2)2-4s1s2

=

2

．

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，兩點的距離公式的應用，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．