Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2．E是CC₁的中點，
（1）求銳二面角D-B₁E-B的余弦值．
（2）試判斷AC與面DB₁E的位置關系，并說明理由．
（3）設M是棱AB上一點，若M到面DB₁E的距離為

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7

，試確定點M的位置．

Answer 1

分析：根據題意，建立空間坐標系得出各點的坐標，給出各點的坐標，
（1）求出兩個平面的法向量，利用公式求稅二面角的余弦；
（2）利用向量證明直線的方向向量與平面的法向量垂直，再結合線不在面內得出線面平行；
（3）點到面的距離可由轉化為此點與面內一點對應的向量在面的法向量上的投影長，故設出點M的坐標，用點M的坐標表示出此投影長，令其為

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7

，解出點M的坐標，即可求出點M的位置

解答：解：建如圖的立空間坐標系可得：D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，2，0），B（1，2，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），C₁（0，2，1），B₁（1，2，1），由中點坐標公式可得E（0，2，

1

2

），
（1）設面DB₁E的法向量是

n1

=(x，y，z)，又

DE

=（0，2，

1

2

），

DB1

=（1，2，1），由

n1 • DE =0  n1 • DB1 =0

得

2y+ 1 2 z=0 x+2y+z=0

，令y=1，得x=2，z=-4
故有

n1

=(2，1，-4)，同理可求得面BB₁E的法向量為

n2

=(0，1，0)，故兩平面所成的稅二面角的余弦cosθ=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

1

21

（2）由題意，AC的方向向量的坐標是

AC

=（-1，2，0），又面DB₁E的法向量

n1

=(2，1，-4)，由于

AC

•

n1

=-2+2=0，故

AC

⊥

n1

，又AC不在面DB₁E內，故AC與面DB₁E的位置關系是平行．
（3）M是棱AB上一點，
設M（1，x，0），則

MD

=（-1，-X，0），
由（1）面DB₁E的法向量

n1

=(2，1，-4)，M到面DB₁E的距離即向量

MD

在DB₁E的法向量

n1

上的投影長度，
故有d=|

n1 •  MD

| n1 |

|=|

-2-X

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=|

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|即得|2+x|=3解得x=1，或x=-1（由圖知，此結論舍），
故M是AB的中點時，符合題意．

點評：本題考查二面角的平面角及求法，解題的關鍵是建立空間坐標系，利用向量法求證線面垂直，線面平行，以及求面面夾角，利用空間向量求解立體幾何中的線面，面面位置關系及求線面角，二面角，是空間向量的重要應用，引入空間向量，大大降低了求解立體幾何問題時的問題時的推理難度，使得思考變得容易，但此法也有不足，從解題過程可以看出，用空間向量法解立體幾何問題，運算量不少，計算時要嚴謹，莫因運算出錯導致解題失敗．本題中將求點到面的距離的問題轉化為求向量在面的法向量上的投影長，方法新穎，注意理解掌握．