Question

（2012•資陽三模）已知函數f（x）=x³-3ax+b（a、b∈R）在x=2處的切線方程為y=9x-14．
（I）求f（x）的單調區間；
（II）令g（x）=-x²+2x+k，若對任意x₁∈[0，2]，均存在x₂∈[0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用f（x）在x=2處的切線方程為y=9x-14，求出函數的解析式，利用導數的正負可得函數的單調區間；
（Ⅱ）對任意x₁∈[0，2]，均存在x₂∈[0，2]l，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，有f（x）_max＜g（x）_max，求出相應函數的最值，即可求得實數k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）求導函數可得f′（x）=3x²-3a，
∵f（x）在x=2處的切線方程為y=9x-14，
∴

f(2)=4 f′(2)=9

，∴

8-6a+b=4 12-3a=9

，∴

a=1 b=2

，∴f（x）=x³-3x+2
∴f′（x）=3（x+1）（x-1），
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞1；由f′（x）＜0，得-1＜x＜1．
故函數f（x）單調遞減區間是（-1，1）；單調遞增區間是（-∞，-1），（1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數f（x）在（0，1）單調遞減，在（1，2）上單調遞增，
又f（0）=2，f（2）=4，有f（0）＜f（2），
∴函數f（x）在區間[0，2]上的最大值f（x）_max=f（2）=4．
又g（x）=-x²+2x+k=-（ x-1）²+k+1
∴函數g（x）在[0，2]上的最大值為g（x）_max=g（1）=k+1
因為對任意x₁∈[0，2]，均存在x₂∈[0，2]l，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，
所以有f（x）_max＜g（x）_max，則4＜k+1，∴k＞3．
故實數k的取值范圍是（3，+∞）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查函數的最值，解題的關鍵是將問題轉化為f（x）_max＜g（x）_max，屬于中檔題．