Question

六名學生需依次進行身體體能和外語兩個項目的訓練及考核．每個項目只有一次補考機會，補考不合格者不能進入下一個項目的訓練（即淘汰），若每個學生身體體能考核合格的概率是

1

2

，外語考核合格的概率是

2

3

，假設每一次考試是否合格互不影響．
（Ⅰ）求某個學生不被淘汰的概率．
（Ⅱ）求6名學生至多有兩名被淘汰的概率．
（Ⅲ）假設某學生不放棄每一次考核的機會，用ζ表示其參加補考的次數(shù)，求隨機變量ζ=1的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）法一（直接法）：某個學生不被淘汰包括：①兩個項目都不補考能通過；②兩個項目中有一個項目要補考才能通過；③兩個項目都要補考才能通過，利用互斥事件，可求概率；法二（間接法）先求被淘汰的概率，再利用對立事件的概率公式求解；
（Ⅱ）6名學生至多有兩名被淘汰包括3種情況，求出相應的概率即可；
（Ⅲ）隨機變量ζ=1的概率，即求參加補考1次的概率．

解答：解：（Ⅰ）法一（直接法）：①兩個項目都不補考能通過概率：P1=

1

2

×

2

3

=

1

3

②兩個項目中有一個項目要補考才能通過的概率：P2=(1-

1

2

)×

1

2

×

2

3

+

1

2

×(1-

2

3

)×

2

3

=

5

18

③兩個項目都要補考才能通過的概率：P3=(1-

1

2

)×

1

2

×(1-

2

3

)×

2

3

=

1

18

∴P=P1+P2+P3=

1

3

+

5

18

+

1

18

=

12

18

=

2

3

…（6分）
法二（間接法）被淘汰的概率：P1=

1

2

×

1

2

+

1

2

×(

1

3

)2+(

1

2

)2×(

1

3

)2=

1

3

∴P=1-P1=

2

3

（Ⅱ）P=

C

0 6

(

1

3

)0(

2

3

)6+

C

1 6

(

1

3

)1(

2

3

)5+

C

2 6

(

1

3

)2(

2

3

)4=

496

729

…（9分）
（Ⅲ） P(ξ=1)=

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

3

+

1

2

×

1

2

×

2

3

=

7

12

…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查互斥事件概率公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．