Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，首項a₁=a，且an+1=2Sn+1，n∈N*
（1）若數列{a_n}是等比數列，求實數a的值；
（2）設b_n=na_n，在（1）的條件下，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）設各項不為0的數列{c_n}中，所有滿足c_i•c_i+1＜0的整數i的個數稱為這個數列{c_n}的“積異號數”，令cn=

bn-4

bn

(n∈N*)，在（2）的條件下，求數列{c_n}的“積異號數”．

Answer 1

（1）由已知得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2，n∈N^*），
兩式相減得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2，n∈N^*）．
又a₂=2S₁+1=2a₁+1=3=3a₁，所以a₁=1
所以數列{a_n}是以1為首項，公比為3的等比數列；
（2）由（1）得，an=3n-1
∴b_n=na_n=n•3^n-1
∴T_n=1+2•3+3•3²+…+n•3^n-1，
∴3T_n=1•3+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
兩式相減可得：-2T_n=1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ，
∴T_n=

2n-1

4

•3n+

1

4

；
（3）由（2）知，b_n=n•3^n-1，
∵cn=

bn-4

bn

(n∈N*)
∴C1=-3，C2=

1

3

，∴C₁C₂=-1＜0
∵C_n+1-C_n=

4

bn

-

4

bn+1

=

4(2n+3)

n(n+)•3n

＞0
∵C2=

1

3

＞0，∴n≥2時，C_n＞0
∴數列{c_n}的“積異號數”為1．