Question

（本題滿分14分）

已知函數，，記

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）當時，若，比較：與的大小；

（Ⅲ）若的極值為，問是否存在實數，使方程

有四個不同實數根？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由。

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（Ⅰ）的定義域為（0，+∞）， 又

 ， 當時，>0恒成立

∴在（0，+∞）上單調遞增；   令得

當時，若， ∴在（0，）上單調遞減；

若，，∴在（，+∞）上單調遞增    

故時_，增區間為；

時，增區間為，減區間為（0，）。      ……4分

（Ⅱ）令，

則，所以在［1，+∞）

上單調遞增，∴，∴                ……8分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知僅當時，在＝處取得極值

由可得＝２，方程為

．．．，   令，得．．．

　由方程有四個不同的根，得方程有兩個不同的正根，

令，當直線與曲線相切時，，得切點坐標（３，） ∴切線方程為，其在y軸上截距為；當直線在軸上截距時，和在y軸右側有兩個不同交點，所以k的取值范圍為（，0）　            ……14分

 （注：也可用導數求解）