Question

（本小題滿分12分）

拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，直線x+y-1=0與拋物線相交于A、B兩點，

且。

(1) 求拋物線方程；

(2) 在x軸上是否存在一點C,使得三角形ABC是正三角形? 若存在，求出點C的坐標，若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）故在x軸上不存在一點C, 使三角形ABC是正三角形

【解析】

試題分析：．（1）設拋物線方程為

得：

設

則

拋物線方程是……………………………………………6分

（2）設AB的中點是D，則

假設x軸上存在一點C(x₀, 0)

因為三角形是正三角形，

所以CD⊥AB

得：

又

矛盾，故在x軸上不存在一點C, 使三角形ABC是正三角形…………12分

考點：本試題考查了拋物線的方程，以及直線與拋物線的位置關系。

點評：解析幾何的本質就是運用代數的方法，結合坐標來分析解析幾何中的圖形的性質。因此設而不求的思想，是解析幾何中解答題的必須步驟，同時結合韋達定理來實現坐標關系，屬于中檔題。