Question

（2012•浙江模擬）若

AB

=(x，y)，x，y∈{-2，-1，0，1，2}，

a

=(1，-1)，則

AB

與

a

的夾角為銳角的概率是

8

25

．

Answer 1

分析：向量

AB

與

a

的夾角為銳角的充要條件是：

AB

•

a

＞0，同時

AB

與

a

不平行．由此結合題中數據得到x＞y且x+y≠0，再計算出所有（x，y）的取法，和符合條件的（x，y）的取法，用隨機事件的概率公式可算出所求的概率．

解答：解：設

AB

與

a

的夾角為θ，若

AB

與

a

的夾角為銳角，即θ∈（0，

π

2

），
∵

AB

•

a

=|

AB

|•|

a

|cosθ
∴θ∈（0，

π

2

）時cosθ＞0，得

AB

•

a

=|

AB

|•|

a

|cosθ＞0
∵

AB

=(x，y)，

a

=(1，-1)
∴

AB

•

a

=x-y＞0，同時

AB

與

a

不平行，得x+y≠0
由以上的討論，得當x＞y且x+y≠0時，

AB

•

a

＞0，夾角θ為銳角
∵x，y∈{-2，-1，0，1，2}
∴x，y的所有取法有5×5=25種，
其中x＞y且x+y≠0的取法有：（2，-1），（2，0），（2，1），（1，-2），
（1，0），（0，-2），（0，-1），（-1，-2），共8種情況
∴

AB

與

a

的夾角為銳角的概率是P=

8

25

故答案為：

8

25

點評：本題以隨機事件的概率的計算為載體，考查了向量數量積的計算公式和兩向量夾銳角角的充要條件等知識，屬于基礎題．