Question

設函數f（x）=x（

1

2

）^x+

1

x+1

，A₀為坐標原點，A_n為函數y=f（x）圖象上橫坐標為n（n∈N^*）  的點，向量

an

=

n

k=1

Ak-1Ak

，向量

i

=(1，0)，設θ_n為向量

an

與向量

i

的夾角，則滿足

n

k=1

tanθk＜

21

11

的最大整數n是

10

．

Answer 1

分析：先確定點A_n=（n，f（n）），再確定

an

，然后明確夾角θ_n，進一步表示出tanθ_n，最后可由列舉法求出滿足要求的最大整數n．

解答：解：∵A_n為函數y=f（x）圖象上橫坐標為n（n∈N^*）  的點
函數f（x）=x（

1

2

）^x+

1

x+1

，
∴A_n=（n，f（n）），
又∵向量

an

=

n

k=1

Ak-1Ak

，
∴

an

=

A0An

，
又∵向量

i

=(1，0)，θ_n為向量

an

與向量

i

的夾角，
則θ_n為直線A₀A_n的傾斜角，
所以tanθ_n=

f(n)

n

=（

1

2

）ⁿ+

1

n(n+1)

，
所以

n

k=1

tanθk=[

1

2

+

1

4

+…+（

1

2

）ⁿ]+（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=1-（

1

2

）ⁿ+1-

1

n+1

=

2n+1

n+1

-（

1

2

）ⁿ，
當n=10時，

10

k=1

tanθk=

21

11

-（

1

2

）¹⁰＜

21

11

當n=11時，

11

k=1

tanθk=

23

12

-（

1

2

）¹¹＞

21

11

故滿足要求的最大整數n是10．
故答案為：10

點評：本題綜合考查向量的夾角與運算及正切函數的定義與求值．