Question

如圖，梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，∠CBA=∠BAD=90°，沿對角線AC將△ABC折起，使點B在平面ACD內的射影O恰在AC上，
(Ⅰ)求證：AB⊥平面BCD；
(Ⅱ)求異面直線BC與AD所成的角；
(Ⅲ)求二面角B-AD-C的余弦值。

Answer 1

解：(Ⅰ)在梯形ABCD中，AC=DC=，AD=2，
∴AC²+DC²=AD²，
∴AC⊥DC，
又BO⊥平面ACD，
∴BO⊥AC，
又AB=CB，
∴O為AC中點，
以O為坐標原點，以OA．OB所在直線分別為x，z軸，
以過O且平行于CD的直線為y軸建立空間直角坐標系，
則，
∴，
∴，∴AB⊥CD，
又AB⊥BC，
∴AB⊥平面BCD。
(Ⅱ)∵，
∴，
∴，即異面直線BC與AD所成的角為60°。
(Ⅲ)平面ACD的法向量，
設平面ABD的法向量為n=（x，y，z），
則，即，解得：，
取z=1，∴n=（1，1，1），
設二面角B-AD-C的平面角為θ，則。