Question

如圖，梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=CB=

1

2

AB=a，E是AB的中點，將△ADE沿DE折起，使點A折到點P的位置，且二面角P-DE-C的大小為120°
（1）求證：DE⊥PC；
（2）求點D到平面PBC的距離；
（3）求二面角D-PC-B的大小．

Answer 1

分析：（1）四邊形ADCE是菱形，連接AC交DE于F，連接PF，則DE⊥AC，DE⊥PF，AC∩PF=F，根據直線與平面垂直的判定定理可知，DE⊥平面PFC，又PC?平面PFC，則DE⊥PC．
（2）利用線面平行進而把點D轉化為點F到面得距離，在利用面面垂直得到垂足的位置，然后在三角形中解出所求線段的長度．
（3）利用二面角的平面角定義找到二面角的平面角，然后在Rt△DHO中解出二面角的大小即可；

解答：解：（1）連接EC，
∵E是AB的中點，∴BE=

1

2

AB，
又∵CD∥AB，DC=

1

2

AB，∴DC∥EB且DC=EB
∴CD∥AE且CD=AE，
∴四邊形ADCE為平行四邊形，
又AD=DC，∴四邊形ADCE是菱形．
連接AC交DE于F，連接PF，
則DE⊥AC，DE⊥PF，
∵AC∩PF=F，∴DE⊥平面PFC．
又∵PC?平面PFC，∴DE⊥PC．
（ 2）∵DE∥BC，DE在平面PBC外，
∴DE∥面PBC，∴D點到面PBC的距離即為點F到面PBC的距離，過點F作FG⊥PC，垂足為G，
∵DE⊥面PCF，∴BC⊥面PCF∴面PBC⊥面PCF，∴FG⊥面PBC，
∴FG的長即為點F到面PBC的距離，菱形ADCE中，AF=FC，
∴PF=CF=

3

2

a，∵∠PFC=120°，∴∠FPC=∠FCP=30°，
∴FG=

1

2

PF=

3

4

a
（3）取PB的中點G，連HG，可知∠DHG為所求二面角，DO=HG=

1

2

a，DH=

7

4

a，
在直角三角形DHO中，sin∠DHO=

DO

DH

=

2 7

7

，又因為GH⊥面POC，
∴GH⊥OH∠DHG=∠DHO+∠GHO=

π

2

+arcsin

2 7

7

．        
（或∠DHG=π-arctan

3

2

=π-arccos

2 7

7

）．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角的求法，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，把要求的點到面得距離轉化為易求的點到面得距離，并利用面面垂直找到點在面內的垂足的位置，此外還考查了學生利用反三角函數的知識表示角的大小．