Question

（1）解不等式：

1

x+1

＜1；
（2）若不等式ax²+5x-2＞0的解集是{x|

1

2

＜x＜2}，求不等式ax²-5x+a²-1＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）分x+1＜0和x+1＞0兩種情況加以討論，分別解關于x的不等式，最后綜合即可得到不等式

1

x+1

＜1的解集；
（2）不等式ax²+5x-2＞0的解集是{x|

1

2

＜x＜2}，結合一元二次方程根與系數的關系算出a=-2，從而不等式ax²-5x+a²-1＞0即-2x²-5x+3＞0，因此不難得出所求不等式的解集．

解答：解：（1）①當x+1＜0時，即x＜-1時，
∵

1

x+1

＜0，∴

1

x+1

＜1恒成立，此時x∈（-∞，-1）；
②當x+1＞0時，即x＞-1時，原不等式即0＜

1

x+1

＜1，
解之得x＞0，即x∈（0，+∞）
綜上所述，不等式

1

x+1

＜1的解集為（-∞，-1）∪（0，+∞）；
（2）∵不等式ax²+5x-2＞0的解集是{x|

1

2

＜x＜2}，
∴ax²+5x-2=0的根是x₁=

1

2

，x₂=2，且a＜0
因此x₁x₂=-

2

a

=

1

2

×2=1，解之得a=-2
不等式ax²-5x+a²-1＞0即-2x²-5x+3＞0，整理得2x²+5x-3＞0
解之，可得-3＜x＜

1

2

，
即不等式ax²-5x+a²-1＞0的解集為（-3，

1

2

）

點評：本題給出含有字母參數不等式的解集，求參數的值并解另一個一元二次不等式，著重考查了一元二次不等式的解法及其應用等知識，屬于基礎題．