Question

若f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且f（

x

y

）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）解不等式：f（x-1）＜0；
（3）若f（2）=1，解不等式f（x+3）-f（

1

x

）＜2．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，即可得到結論；
（2）f（x-1）＜0等價于f（x-1）＜f（1），利用f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，可得結論；
（3）由題意，f（4）=f（2）+f（2）=2，故原不等式f[x（x+3）]＜f（4），由此可得結論．

解答：解：（1）在等式中令x=y≠0，則f（1）=0；
（2）∵f（1）=0，
∴f（x-1）＜0等價于f（x-1）＜f（1）
又f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，
∴

x-1＜1 x-1＞0

，解得x∈（1，2）
（3）由題意，f（4）=f（2）+f（2）=2，故原不等式為：f(x+3)-f(

1

x

)＜f(4)
即f[x（x+3）]＜f（4）
又f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，
故原不等式等價于：

x+3＞0 1 x ＞0 x(x+3)＜4

，解得0＜x＜1，即x∈（0，1）．

點評：本題考查函數的單調性，考查解不等式，考查學生的計算能力，屬于基礎題．