Question

18、如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC
的中點．求證：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（1）在平面BDE內找到和PA平行的直線EO即可．利用線線平行來推導出線面平行．
（2）先由PO⊥底面ABCD?PO⊥BD．再由ABCD是正方形?BD⊥AC，合在一起可得BD⊥平面PAC．即可推得平面PAC⊥平面BDE．

解答：證明：（1）連接OE，AC∩BD=O，
在△PAC中，
∵E為PC的中點，O為AC中點．
∴PA∥EO，（4分）
又∵EO?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE（7分）
（2）∵PO⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PO⊥BD．（10分）
又∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
又PO∩AC=O，
∴BD⊥平面PAC．
又BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．（14分）

點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質和線面平行的推導．在證明線面平行時，其常用方法是在平面內找已知直線平行的直線．當然也可以用面面平行來推導線面平行．