Question

（2005•靜安區一模）為了保護一件珍貴文物，博物館需要在一種無色玻璃的密封保護罩內充入保護氣體．假設博物館需要支付的總費用由兩部分組成：①罩內該種氣體的體積比保護罩的容積少0.5立方米，且每立方米氣體費用1千元；②需支付一定的保險費用，且支付的保險費用與保護罩容積成反比，當容積為2立方米時，支付的保險費用為8千元．
（1）求博物館支付總費用y與保護罩容積V之間的函數關系式；
（2）求博物館支付總費用的最小值；
（3）（理）如果要求保護罩可以選擇正四棱錐或者正四棱柱形狀，且保護罩底面（不計厚度）正方形邊長不得少于1.1米，高規定為2米．當博物館需支付的總費用不超過8千元時，求保護罩底面積的最小值（結果保留一位小數）．

Answer 1

分析：（1）由需要支付的總費用由兩部分組成，當容積為2立方米時，支付的保險費用為8千元，可求比例系數，從而可求支付總費用y與保護罩容積V之間的函數關系式；
（2）由（1）得：y=1000V+

16000

V

-500利用基本不等式可求出當且僅當1000V=

16000

V

，博物館支付總費用的最小值；
（3）法1：由題意得不等式：V+

16

V

-0.5≤8，分別求出當保護罩為正四棱錐形狀時，當保護罩為正四棱柱形狀時，最后根據底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21，得出底面正方形的面積最小可取1.4平方米；
法2：先解方程8000=1000V+

16000

V

-500，利用函數y=1000V+

16000

V

-500的單調性求得底面正方形的面積最小可取1.4平方米；
法3：利用基本不等式可求最值，注意等號成立的條件．

解答：解：：（1）y=1000(V-0.5)+

16000

V

=1000V+

16000

V

-500（或y=V+

16

V

-0.5）（V＞0.5）（理4分，文6分）
（2）y=1000V+

16000

V

-500≥7500（理8分，文12分）
當且僅當1000V=

16000

V

，即V=4立方米時不等式取得等號（理（10分），文15分）
所以，博物館支付總費用的最小值為7500元．                   （文16分）
（3）（理）解法1：由題意得不等式：V+

16

V

-0.5≤8（理12分）
當保護罩為正四棱錐形狀時，V=

2

3

S，代入整理得：4S²-51S+144≤0，解得4.22≈

51-3 33

8

≤S≤

51+3 33

8

≈8.53；
當保護罩為正四棱柱形狀時，V=2S，代入整理得：4S²-17S+16≤0，解得1.41≈

8.5- 8.25

4

≤S≤

8.5+ 8.25

4

≈2.84（理15分）
又底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米    （理16分）
解法2．解方程8000=1000V+

16000

V

-500，即V²-8.5V+16=0得兩個根為V₁=2.814，V₂=5.686（理12分）
由于函數y=1000V+

16000

V

-500在（0，4]上遞減，在[4，+∞）上遞增，所以當V＜V₁時，總費用超過8000元，所以V取得最小值V₁（理14分）
由于保護罩的高固定為2米，
所以對于相等體積的正四棱錐與正四棱柱，正四棱柱的底面積是正四棱錐底面積的

1

3

．
所以當保護罩為正四棱柱時，保護罩底面積最小，S=

V1

h

=

2.814

2

≈1.4m²            （理15分）
又底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21，1.21＜1.4，
所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米   （理16分）
解法3．解V+

16

V

-0.5≤8（理12分）
得2.8≈

8.5- 8.25

2

≤V≤

8.5+ 8.25

2

≈5.7（理14分）
又底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21，當保護罩為正四棱錐形狀時，V=

2

3

S≥0.87；
當保護罩為正四棱柱形狀時，V=2S≥2.42．
所以，保護罩容積可取最小V=2.8立方米，當形狀為棱柱時底面正方形的面積最小，為1.4平方米  （理16分）

點評：本題主要考查函數模型的建立及最值問題的研究，應注意基本不等式成立的條件．