Question

（14分）已知，直線，為平面上的動點，過點作的垂線，垂足為點，且．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點的直線交軌跡于兩點，點O是直角坐標系的原點，求面積的最小值，并求出當的面積取到最小值時直線的方程。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）面積的最小值為2，此時直線的方程為=1

【解析】

試題分析：（1）設點，則，

由得：，

化簡得．                                                    ……6分

（2）當直線與軸垂直時，、，

所以；                                              ……8分

當直線與軸不垂直時，可設直線的方程為，、，

將拋物線方程與直線方程聯立，消去整理得：，

所以有，

所以=， ……13分

所以面積的最小值為2，此時直線的方程為=1。                  ……14分

考點：本小題主要考查平面向量的數量積運算、拋物線標準方程的求解、直線與拋物線的位置關系和三角形面積公式的應用以及最值的求解，考查學生分析問題、解決問題的能力和運算求解能力.

點評：設直線方程時，一定要考慮斜率是否存在兩種情況，否則會漏掉一個解.