Question

某縣位于山區(qū)，居民的居住區(qū)域大致呈如右圖所示的五邊形，近似由一個(gè)正方形和兩個(gè)等腰直角三角形組成，若AB＝60km，AE＝CD＝30km，為了解決當(dāng)?shù)厝嗣窨措娨曤y的問(wèn)題，準(zhǔn)備建一個(gè)電視轉(zhuǎn)播臺(tái)，理想方案是轉(zhuǎn)播臺(tái)距五邊形各頂點(diǎn)的距離平方和最小，圖中P₁、P₂、P₃、P₄是AC的五等分點(diǎn)，則轉(zhuǎn)播臺(tái)應(yīng)建在(　　)

A．P₁處         B．P₂處

C．P₃處         D．P₄處

Answer 1

A

[解析]　以AB為x軸，AE為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0)、B(60,0)、C(30,30)、D(30,60)、E(0,30)，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則f(x，y)＝|AP|²＋|BP|²＋|CP|²＋|DP|²＋|EP|²＝x²＋y²＋(x－60)²＋y²＋(x－30)²＋(y－30)²＋(x－30)²＋(y－60)²＋x²＋(y－30)²＝5x²＋5y²－240x＋240y＋10800＝5(x－24)²＋5(y－24)²＋5040.當(dāng)x＝y＝24時(shí)，f(x，y)有最小值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(24,24)，與點(diǎn)P₁重合．故選A.