Question

某縣位于山區，居民的居住區域大致呈如右圖所示的五邊形，近似由一個正方形和兩個等腰直角三角形組成，若AB=60km，AE=CD=30km，為了解決當地人民看電視難的問題，準備建一個電視轉播臺，理想方案是轉播臺距五邊形各頂點的距離平方和最小，圖中P₁、P₂、P₃、P₄是AC的五等分點，則轉播臺應建在（　　）

A．P1處

B．P2處

C．P3處

D．P4處

Answer 1

以AB為x軸，AE為y軸建立直角坐標系，則A（0，0）、B（60，0）、C（30，30）、D（30，60）、E（0，30），
設點P（x，y），則
f（x，y）=|AP|²+|BP|²+|CP|²+|DP|²+|EP|²
=x²+y²+（x-60）²+y²+（x-30）²+（y-30）²+（x-30）²+（y-60）²+x²+（y-30）²
=5x²+5y²-240x+240y+10800
=5（x-24）²+5（y-24）²+5040．
當x=y=24時，f（x，y）有最小值，此時點P的坐標為（24，24），與點P₁重合．
故選A．