Question

函數f（x）是一次函數，且f（-1）=-1，f'（1）=e，其中e是自然對數的底數．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）在數列{a_n}中，a₁=f（1）-e，a_n+1=f（a_n），求數列{a_n}的通項公式；
（3）若數列{b_n}滿足b_n=a_nln（a_2n-1+1），試求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）設出函數解析式，利用f（-1）=-1，f'（1）=e，可得結論；
（2）證明{a_n+1}是以e為公比，首項為e的等比數列，即可求數列{a_n}的通項公式；
（3）利用裂項法，可求數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）設f（x）=kx+b，則f′（x）=k
∵f（-1）=-1，f'（1）=e，
∴

-k+b=-1 k=e

，∴

k=e b=e-1

∴f（x）=ax+e-1；
（2）∵a_n+1=f（a_n），∴a_n+1=ea_n+e-1，∴a_n+1+1=e（a_n+1）
∴{a_n+1}是以e為公比，首項為e的等比數列
∴a_n+1=eⁿ，∴a_n=eⁿ-1；
（3）b_n=a_nln（a_2n-1+1）=（2n-1）eⁿ-（2n-1）
令T_n=e+3e²+…+（2n-1）eⁿ，則eT_n=e²+3e³+…+（2n-1）eⁿ⁺¹，
兩式相減可得（1-e）T_n=e+2（e²+e³+…+eⁿ）-（2n-1）eⁿ⁺¹，
∴T_n=

(2n-1)en+1+e

e-1

-

2e(en-1)

(e-1)2

∴S_n=

(2n-1)en+1+e

e-1

-

2e(en-1)

(e-1)2

-n2．

點評：本題考查導數知識的運用，考查等比數列的證明，考查裂項法求數列的和，屬于中檔題．