Question

某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相同，為保護城市環境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數量不應超過多少輛？

Answer 1

解法一：設2001年末汽車保有量為b₁萬輛，以后各年末汽車保有量依次為b₂萬輛，b₃萬輛，…，每年新增汽車x萬輛，則b₁=30，b₂=b₁×0.94+x.對于n＞1，有b_n+1=b_n×0.94+x=b_n－1×0.94²+（1+0.94）x=…

∴b_n+1=b₁×0.94ⁿ+x（1+0.94+…+）

=b₁×0.94ⁿ+x

=+（30－）×0.94ⁿ.

當30－≥0，即x≤1.8時，b_n+1≤b_n≤…≤b₁=30.

當30－＜0，即x＞1.8時，

b_n=［+（30－）×］=，并且數列{b_n}逐次增加，可以任意靠近，

b_n=［+（30－）×］=.

因此，如果要求汽車保有量不超過60萬輛，即b_n≤60（n=1，2，3，…），

則≤60，即x≤3.6（萬輛）.

綜上，每年新增汽車不應超過3.6萬輛.

解法二：依題意要求汽車保有量不超過60萬輛，即b_n≤60（n=1，2，3，…），也就是

30×+x≤60恒成立.

解這個關于x的一元一次不等式，得

x≤1.8（1+），

記f（n）=1.8+.                                                                           （*）

∵f（n）是關于n的單調遞減函數，

∴f（n）≥f（n）=3.6.

要使（*）式恒成立，當且僅當x≤3.6.

故每年新增汽車不應超過3.6萬輛.

如果換一種思維方式來思考本題，會發現用小學數學知識就能解決：

如果每年新增汽車的數量不超過年末報廢汽車的數量（x≤1.8萬輛），那么汽車的保有量要逐年減少（或保持原有的數量），這顯然能使該城市汽車保有量不超過60萬輛.

如果每年新增汽車數量比年末報廢的要多，那么汽車的保有量就要逐年增加，經過若干年后，汽車保有量就會達到60萬輛，隨后每年新增汽車數量只有等于或小于年末汽車報廢的數量才能使該城市汽車保有量不超過60萬輛，即每年新增汽車數量x≤60×6%=3.6（萬輛）.

所以每年新增汽車不應超過3.6萬輛.