Question

下列三圖中的多邊形均為正多邊形，M，N是所在邊的中點，雙曲線均以圖中的F₁，F₂為焦點，設圖示①②③中的雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，e₃、則e₁，e₂，e₃的大小關系為（ ）
A．e₁＞e₂＞e₃
B．e₁＜e₂＜e₃
C．e₂=e₃＜e₁
D．e₁=e₃＞e₂

Answer 1

【答案】分析：根據題設條件，分別建立恰當的平面直角坐標系，求出圖示①②③中的雙曲線的離心率e₁，e₂，e₃，然后再判斷e₁，e₂，e₃的大小關系．
解答：解：①設等邊三角形的邊長為2，以底邊為x軸，以底邊的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，
則雙曲線的焦點為（±1，0），且過點（，），
∵（，）到兩個焦點（-1，0），（1，0）的距離分別是和，
∴，c=1，∴．
②正方形的邊長為，分別以兩條對角線為x軸和y軸，建立平面直角坐標系，
則雙曲線的焦點坐標為（-1，0）和（1，0），且過點（）．
∵點（）到兩個焦點（-1，0），（1，0）的距離分別是和，
∴，c=1，∴．
③設正六邊形的邊長為2，以F₁F₁所在直線為x軸，以F₁F₁的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，
則雙曲線的焦點為（-2，0）和（2，0），且過點（1，），
∵點（1，）到兩個焦點（-2，0）和（2，0）的距離分別為2和2，
∴a=-1，c=2，∴．
所以e₁=e₃＞e₂．故選D．
點評：恰當地建立坐標系是正確解題的關鍵．