Question

如圖，已知正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面邊長(zhǎng)為4，A₁A＝6，Q為B₁B的中點(diǎn)，P∈DD₁，M∈A₁B₁，N∈C₁D₁，A₁M＝1，D₁N＝3．

①當(dāng)P為DD₁中點(diǎn)時(shí)，求二面角M－PN－D₁的大小；

②DD₁上是否存在點(diǎn)P，使QD₁⊥面PMN？若存在，求出P點(diǎn)的位置，若不存在，說(shuō)明理由．

③若P為DD₁中點(diǎn)，求三棱錐Q－PMN體積．

Answer 1

答案：
解析：

①過(guò)M做MO⊥D1C1，過(guò)O作OH⊥PN，邊MH，則∠MHO為二面角M－PN－D1的平面角，易求∠MHO＝arccos． 　　②不存在，因?yàn)榧僭O(shè)存在點(diǎn)P使QP1⊥平面PMN，則QD1⊥MN，QD1在底面上的射影為B1D1，則B1D1⊥MN，而實(shí)際B1D1不垂直MN． 　　③易知VQ－PMN＝2VB－PMN＝2Vp－BMN＝12．