Question

如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，點E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC與底面ABCD所成的角為45°，AB=a．
（1）求截面EAC的面積；
（2）求異面直線A₁B₁與AC之間的距離；
（3）求三棱錐B₁-BAC的體積．

Answer 1

分析：（1）如圖，利用∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角，結合直角三角形中的邊角關系即可求得截面EAC的面積；
（2）先證明A₁A是異面直線A₁B₁與AC間的公垂線，再利用直角三角形中勾股定理即可求得線段A₁A的長度；
（3）欲求三棱錐B₁-BAC的體積，考慮到則VB1-EAC=2VA-EOB1先求三棱錐A-EOB₁的體積即可．

解答：（1）解：連接BD交AC于O，連接EO
∵底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC
又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC
∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角．∴∠EOD=45°.DO=

2

2

a，AC=

2

a，EO=

2

2

a•sec45°=a．
故S△EAC=

2

2

a2．
（2）解：由題設ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，得A₁A⊥底面AC，A₁A⊥AC，
又A₁A⊥A₁B₁，
∴A₁A是異面直線A₁B₁與AC間的公垂線．∵D₁B₁∥面EAC，且面D₁BD與面EAC交線為EO，
∴D₁B₁∥EO
又O是DE的中點，∴E是D₁D的中點，D₁B₁=2EO=2a
∴D₁D=

D1B2-DB2

=

2

a．異面直線A₁B₁與AC間的距離為

2

a．
（3）解：連接B₁O，則VB1-EAC=2VA-EOB1
∵AO⊥面BDD₁B₁，
∴AO是三棱錐A-EOB₁的高，AO=

2

2

a．
在正方形BDD₁B₁中，E、O分別是D₁D、DB的中點（如右圖），則S△EOB1=

3

4

a2．
∴VB1-EAC=2•

1

3

•

3

4

a2•

2

2

a=

2

4

a3．所以三棱錐B₁-EAC的體積是

2

4

a3．

點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角和距離的概念，邏輯思維能力、空間想象能力及運算能力．