Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），f（a_n）和g（a_n）滿足：a₁=2，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）是否存在常數C，使得數列{a_n+C}為等比數列？若存在，證明你的結論；若不存在，請說明理由．
（2）設b_n=3f（a_n）-[g（a_n+1）]²，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）先根據 已知條件（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0整理得到（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0；再結合a₁=2，得到4a_n+1=3a_n+1；最后通過假設存在常數C，使{a_n+C}為等比數列，得到相鄰兩項的比值為常數求出常數c=-1；
（2）先根據第一問的 結果求出數列{a_n}的通項，再代入求出數列{b_n}的通項公式，最后根據等比數列的求和公式 即可得到結論．

解答：解：（1）由題意知：4（a_n+1-a_n）（a_n-1）+（a_n-1）²=0
∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0   …（2分）
∵a₁=2，∴a_n-1≠0，即4a_n+1=3a_n+1 …（4分）
假設存在常數C，使{a_n+C}為等比數列，
則：

an+1+c

an+c

=

3 4 an+ 1 4 +c

an+c

=

3

4

+

1 4 (1+c)

an+c

為常數
∴c=-1，故存在常數c=-1，使{a_n-1}為等比數列…（6分）
（2）∵a₁=2，∴a1-1=1，即an-1=(

3

4

)n-1，
∴an=(

3

4

)n-1+1…（8分）
從而bn=3(an-1)2-[4(an+1-1)]2=-6(

9

16

)n-1…（10分）
∴Sn=

-6[1-( 9 16 )n]

1- 9 16

=-

96

7

[1-(

9

16

)n]…（12分）

點評：本題主要考查等比數列的求和公式的應用．再應用等比數列的求和公式時，一定要先判斷公比是否等于1，避免出錯．