Question

已知f （x）=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+2

3

cos²（x+

θ

2

）-

3

．
（1）化簡(jiǎn)f （x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ使函數(shù)f （x）為偶函數(shù)；
（3）在（2）成立的條件下，求滿足f （x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)解析式第一項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，合并整理后，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，即為函數(shù)解析式的最簡(jiǎn)形式；
（2）把函數(shù)解析式中的x化為-x，確定出f（-x）的解析式，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=f（x），列出關(guān)系式，利用正弦函數(shù)的奇偶性以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后可得cos（θ+

π

3

）=0，根據(jù)θ的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出滿足題意θ的度數(shù)；
（3）把第二問求出θ的度數(shù)代入到函數(shù)解析式中，并根據(jù)f（x）=1，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，可求出cos2x的值，由x的范圍，利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，即可求出滿足題意x的集合．

解答：解：（1）f（x）=sin（2x+θ）+2

3

×

1+cos(2x+θ)

2

-

3

=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）
=2sin（2x+θ+

π

3

）；
（2）要使f （x）為偶函數(shù)，則必有f（-x）=f（x），
∴2sin（-2x+θ+

π

3

）=2sin（2x+θ+

π

3

），即-sin[2x-（θ+

π

3

）]=sin（2x+θ+

π

3

），
整理得：-sin2xcos（θ+

π

3

）+cos2xsin（θ+

π

3

）=sin2xcos（θ+

π

3

）+cos2xsin（θ+

π

3

）
即2sin2xcos（θ+

π

3

）=0對(duì)x∈R恒成立，
∴cos（θ+

π

3

）=0，又0≤θ≤π，
則θ=

π

6

；
（3）當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，f（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x=1，
∴cos2x=

1

2

，
∵x∈[-π，π]，
∴x=±

π

6

，
則x的集合為{x|x=±

π

6

}．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，以及正弦函數(shù)的奇偶性，涉及的知識(shí)有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．