Question

圓x²+y²=r²（r＞0）經過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點F₁，F₂，且與該橢圓有四個不同交點，設P是其中的一個交點，若△PF₁F₂的面積為26，橢圓的長軸長為15，則a+b+c=

 

（c為半焦距）．

Answer 1

分析：依題意作圖，易求a=

15

2

；利用橢圓的定義與直徑三角形△F₁PF₂即可求得c=

11

2

，從而可求得b，繼而可得a+b+c的值．

解答：解：依題意知，作圖如右：
∵2a=15，
∴a=

15

2

；
又△F₁PF₂為以F₁F₂為斜邊的直徑三角形，且|PF₁|+|PF₂|=2a=15，

1

2

|PF₁|•|PF₂|=26，|F₁F₂|=2c，
∴(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+2|PF₁|•|PF₂|+|PF2|2=15²=225，
即|F1F2|2+2×52=225，
∴4c²=121，
∴c=

11

2

，
∴b²=a²-c²=

104

4

，
∴b=

26

，
∴a+b+c=

15

2

+

11

2

+

26

=13+

26

．
故答案為：13+

26

．

點評：本題考查橢圓的簡單性質，著重考查橢圓定義的理解與應用，考查勾股定理的應用，屬于中檔題．