Question

如圖所示，已知直線a、b、c不共面，P是它們的公共點，A∈a，D∈a，B∈b，C∈c，A、B、C、D四點不與P重合，求證：BD和AC是異面直線．

Answer 1

答案：
解析：

　　思路解析：方法一：用反證法；

　　方法二：用異面直線的判定定理“過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線”．

　　證法一：假設BD和AC不是異面直線，則可設BD和AC共面于α，

　　∴A∈α，B∈α，C∈α，D∈α．

　　∵A∈α，D∈α，∴aα．

　　又P是a、b、c的公共點，∴P∈α．

　　∵B∈b，C∈c，cα，

　　∴a、b、c三線共面，這與已知a、b、c不共面矛盾．

　　∴假設不成立．故BD和AC是異面直線．

　　證法二：由已知，得D∈平面APC，AC平面APC，DAC，B平面APC．根據異面直線的判定定理得BD和AC是異面直線．