Question

求證方程x•lgx=1在區間（2，3）內有且僅有一個實根．

Answer 1

【答案】分析：依據方程的根與零點的對應關系轉化為函數的零點來證明，可構造函數f（x）=xlgx-1，由零點的存在性定理驗證．
解答：證明：方程x•lgx=1在區間（2，3）內有且僅有一個實根?函數f（x）=xlgx-1，在區間（2，3）內有且僅有一個零點
函數f（x）=xlgx-1，在區間（2，3）是增函數，
又f（2）=2lg2-1＜0，f（3）=2lg3-1＞0，
即f（2）×f（3）＜0
由零點存在性定理知，函數f（x）=xlgx-1，在區間（2，3）內僅有一個零點
即方程x•lgx=1在區間（2，3）內有且僅有一個實根
點評：考查方程的根與相應函數零點的對應關系，零點的存在性定理是判斷零點存在與否的重要工具．