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求證方程x•lgx=1在區間（2，3）內有且僅有一個實根．

證明：方程x•lgx=1在區間（2，3）內有且僅有一個實根?函數f（x）=xlgx-1，在區間（2，3）內有且僅有一個零點
函數f（x）=xlgx-1，在區間（2，3）是增函數，
又f（2）=2lg2-1＜0，f（3）=2lg3-1＞0，
即f（2）×f（3）＜0
由零點存在性定理知，函數f（x）=xlgx-1，在區間（2，3）內僅有一個零點
即方程x•lgx=1在區間（2，3）內有且僅有一個實根
分析：依據方程的根與零點的對應關系轉化為函數的零點來證明，可構造函數f（x）=xlgx-1，由零點的存在性定理驗證．
點評：考查方程的根與相應函數零點的對應關系，零點的存在性定理是判斷零點存在與否的重要工具．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

49、求證方程x•lgx=1在區間（2，3）內有且僅有一個實根．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）=|lgx|，a，b為實數，且0＜a＜b．
（1）求方程f（x）=1的解；
（2）若a，b滿足f(a)=f(b)=2f(
a+b
2
)，求證：①a•b=1；②
a+b
2
＞1．
（3）在（2）的條件下，求證：由關系式f(b)=2f(
a+b
2
)所得到的關于b的方程h（b）=0，存在b0∈（3，4），使h（b0）=0．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年廣東省實驗中學高一（上）模塊考試數學試卷（解析版） 題型：解答題

設f（x）=|lgx|，a，b為實數，且0＜a＜b．
（1）求方程f（x）=1的解；
（2）若a，b滿足，求證：①a•b=1；②．
（3）在（2）的條件下，求證：由關系式所得到的關于b的方程h（b）=0，存在b∈（3，4），使h（b）=0．

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科目：高中數學 來源：2011年高三數學復習（第11章 導數及其應用）：11.1 導數應用的題型與方法（解析版） 題型：解答題

求證方程x•lgx=1在區間（2，3）內有且僅有一個實根．

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