Question

（21）已知是二次函數，不等式的解集是且在區間上的最大值是12。

       （I）求的解析式；

       （II）是否存在實數使得方程在區間內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

本小題主要考查函數的單調性、極值等基本知識，考查運用導數研究函數的性質的方法，考查函數與方程、數形結合等數學思想方法和分析問題、解決問題的能力。

       （I）解：是二次函數，且的解集是

       可設

       在區間上的最大值是

       由已知，得

      

       （II）方程等價于方程

       設

       則

       當時，是減函數；

       當時，是增函數。

      

       方程在區間內分別有惟一實數根，而在區間內沒有實數根，

       所以存在惟一的自然數使得方程在區間內有且只有兩個不同的實數根。