Question

已知是二次函數，不等式的解集是(0,5)，且f(x)在區間[－1,4]上的最大值是12.

(1)求的解析式；

(2)是否存在自然數m，使得方程＝0在區間(m，m＋1)內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2)存在唯一的自然數m＝3，使得方程在區間(m，m＋1)內有且只有兩個不等的實數根．

【解析】

試題分析：(1)為求函數的解析式，可根據是二次函數，且的解集是(0,5)，

設出應用“待定系數法”．

(2)首先注意到方程＝0等價于方程，從而，可通過研究函數

達到解題目的.

具體地，通過“求導數、求駐點、討論導數的正負、確定函數的單調區間”，認識方程的根分布情況.

試題解析：

(1)∵是二次函數，且的解集是(0,5)，

∴可設．

∴在區間[－1,4]上的最大值是.

由已知，得                    5分

(2)方程＝0等價于方程

設

則．                           7分

當x∈時，，因此在此區間上是減少的；

當x∈時，，因此是在此區間上是增加的．

∵h(3)＝1>0，h＝<0，h(4)＝5>0，                10分

∴方程＝0在區間，內分別有唯一實數根，而在區間(0,3)，(4，＋∞)內沒有實數根，

∴存在唯一的自然數m＝3，使得方程在區間(m，m＋1)內有且只有兩個不等的實數根．                                       12分

考點：待定系數法，應用導數研究函數的單調性，函數方程.