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設曲線y和曲線y在它們的交點處兩切線的夾角為α,求tanα的值.

答案:
解析:

  解:聯立兩曲線方程

  解得兩曲線的交點為(1,1).

  設兩曲線在交點處的切線斜率分別為k1、k2,則k1

  k2

  由兩直線夾角公式,得

  tanα=


練習冊系列答案
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已知函數f(x)=alnx-x2+1.

(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為4x-y+b=0,求實數a和b的值;

(2)若a<0,且對任意x1、x2∈(0,+∞),都|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|,求a的取值范圍.

【解析】第一問中利用f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,

由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.

第二問中,利用當a<0時,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是減函數,

不妨設0<x1≤x2,則|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1

∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等價于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,

即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,結合構造函數和導數的知識來解得。

(1)f′(x)=-2x(x>0),f′(1)=a-2,又f(1)=0,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(a-2)(x-1),即(a-2)x-y+2-a=0,

由已知得a-2=4,2-a=b,所以a=6,b=-4.

(2)當a<0時,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是減函數,

不妨設0<x1≤x2,則|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),|x1-x2|=x2-x1,

∴|f(x1)-f(x2)|≥|x1-x2|等價于f(x1)-f(x2)≥x2-x1,即f(x1)+x1≥f(x2)+x2,

令g(x)=f(x)+x=alnx-x2+x+1,g(x)在(0,+∞)上是減函數,

∵g′(x)=-2x+1=(x>0),

∴-2x2+x+a≤0在x>0時恒成立,

∴1+8a≤0,a≤-,又a<0,

∴a的取值范圍是

 

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