Question

若不等式8x⁴+8（a-2）x²-a+5＞0對于任意的實數x恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．（

  1

  2

  ，5）
• B．（-∞，2）
• C．（2，+∞）
• D．（2，5）

Answer 1

分析：令f（x）=8x⁴+8（a-2）x²-a+5，通過對a分類討論利用導數研究其單調性，只要證明f（x）_min＞0即可得出．

解答：解：令f（x）=8x⁴+8（a-2）x²-a+5，則f′（x）=32x³+16（a-2）x=32x(x2+

a-2

2

)．
①當a≥2時，令f′（x）=0，解得x=0．
當x＞0時，f′（x）＞0，函數f（x0單調遞增；當x＜0時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減．
因此，當x=0時，f（x）取得極小值，即最小值，由題意f（0）=-a+5＞0，解得a＜5．
∴2≤a＜5．
②當a＜2時，令f′（x）=0，解得x=0，±

2-a 2

．
令f′（x）＞0，解得-

2-a 2

＜x＜0，x＞

2-a 2

；令f′（x）＜0，解得x＜-

2-a 2

，0＜x＜

2-a 2

．
∴函數f（x）在x=±

2-a 2

時取得極小值．
由題意f（x）=8(

2-a

2

)2+8(a-2)•

2-a

2

-a+5＞0，化為2a²-7a+3＜0，解得

1

2

＜a＜3．
又a＜2，∴

1

2

＜a＜2．
綜上可知：a的取值范圍是

1

2

＜a＜5．
故選A．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性極值與最值、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．