Question

【題目】設函數．

（1）求函數的零點；

（2）當時，求證：在區間上單調遞減；

（3）若對任意的正實數，總存在，使得，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）討論，且，，解方程可得零點；

（2）可令，運用單調性的定義，證得在遞減，可得，即可得到證明；

（3）由題意可得，由絕對值的含義，化簡，得到在的單調性，即有，運用絕對值不等式的性質，可得的最大值，即可得到的范圍．

解：（1）當時，的零點為；

當且時，由得，

由一元二次方程求根公式得，的零點為；

當時，方程中的判別式，故無零點；

（2）證明：當時，，可令，

任取，

，

由，可得，，進而，

即，可得在上遞減，

可得時，，

則，

即在區間上單調遞減；

（3）對任意的正實數，總存在，，使得，則，

當時，，

則在遞減，在，遞增，

可得，

由于，設，可得，，

可得，即有，可得，

則．