Question

2．已知函數$f（x）={（cosx+sinx）^2}-2sinxcos（\frac{π}{2}-x）$
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數f（x）的最大值及f（x）取最大值時x的集合；
（Ⅲ）求函數f（x）單調遞增區間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數化簡函數的解析式為一個角的一個三角函數的形式，然后求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用正弦函數的最值求解函數f（x）的最大值及f（x）取最大值時x的集合；
（Ⅲ）利用正弦函數的和單調增區間求解函數f（x）單調遞增區間．

解答 解：函數$f（x）={（cosx+sinx）^2}-2sinxcos（\frac{π}{2}-x）$=cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
（Ⅰ）函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（Ⅱ）因為$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）$≤\sqrt{2}$，
函數f（x）的最大值$\sqrt{2}$，當2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ$+\frac{π}{8}$時，f（x）取最大值，
此時x的集合：{x|x=kπ$+\frac{π}{8}$，k∈Z}；
（Ⅲ）2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得$kπ-\frac{3π}{8}$≤x≤kπ$+\frac{π}{8}$，
函數f（x）單調遞增區間[$kπ-\frac{3π}{8}$，kπ$+\frac{π}{8}$]．k∈Z．

點評 本題考查正弦函數的單調性以及函數的周期性，三角函數的最值的求法，兩角和與差的三角函數，考查計算能力．