Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC的邊長為2，D為BC的中點，三棱柱的體積．
（1）求該三棱柱的側面積；
（2）求異面直線AB與C₁D所成角的大小（結果用反三角函數值表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC的邊長為2，三棱柱的體積．我們可以計算出棱柱的高，代入到棱柱的側面積公式，即可求出答案．
（2）取AC中點E，連接DE、C₁E，由三角形中位線定理及異面直線夾角的定義，可得∠C₁DE（或其補角）就是異面直線AB與C₁D所成的角，解△C₁DE即可得到異面直線AB與C₁D所成角的大小．
解答：解：（1）因為三棱柱的體積，而，所以A₁A=3…（3分）
所以S_側=3×2×3=18．…（6分）
（2）取AC中點E，連接DE、C₁E，
則ED∥AB，所以，∠C₁DE（或其補角）就是異面直線AB與C₁D所成的角．…（8分）
在△C₁DE中，，DE=1，…（9分）
所以．…（12分）
所以，異面直線AB與C₁D所成角的大小為．…（14分）
（或，或）
點評：本題考查的知識點是異面直線的夾角，三棱柱的體積和表面積，其中（1）的關鍵是根據已知求出棱柱的高，（2）的關鍵是構造出∠C₁DE（或其補角）就是異面直線AB與C₁D所成的角，將異面直線夾角問題轉化為解三角形問題．