Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長和底面邊長均為1，M是底面BC邊上的中點，N是側棱CC₁上的點，且CN=2C₁N，
（Ⅰ）求二面角B₁-AM-N的平面角的余弦值；
（Ⅱ）求點B₁到平面AMN的距離。

Answer 1

解：（Ⅰ）因為M是底面BC邊上的中點，所以AM⊥BC， 又AM⊥CC1，所以AM⊥面BC， 從而AM⊥B1M，AM⊥NM， 所以∠B1MN為二面角B1-AM-N的平面角。 又B1M=， MN=， 連B1N，得B1N=， 在△B1MN中，由余弦定理得 ， 故所求二面角B1-AM-N的平面角的余弦值為。 （Ⅱ）過B1在面內作直線，H為垂足， 又AM⊥平面， 所以AM⊥B1H，于是B1H⊥平面AMN， 故B1H即為B1到平面AMN的距離。 在中，B1H=B1M， 故點B1到平面AMN的距離為1。