Question

已知橢圓的中心為原點，長軸在 軸上，上頂點為 ，左、右焦點分別為 ，線段  的中點分別為 ，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標準方程；（Ⅱ）過 作直線交橢圓于，，求△的面積

 

Answer 1

【答案】

：（Ⅰ）+=1（Ⅱ）

【解析】：：（Ⅰ）如答（21）圖，設(shè)所求橢圓的標準方程為+=1（），右焦點為因 是直角三角形且 ，故  為直角，從而，即  ，結(jié)合  得 。故  ，所以離心率  ，在 中，  故

由題設(shè)條件得 ，從而因此所求  橢圓的的標準方程為：+=1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，由題意，直線的傾斜角不為0，故可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程（*）

設(shè)  則 是上面方程的兩根，因此

 又，所以

由  ，知 ，即  ，解得

當(dāng) 時，方程（*）化為：

故 ，

的面積  當(dāng)  時，同理可得（或由對稱性可得） 的面積 綜上所述， 的面積為