Question

設a，b，c是正實數，求證：a^ab^bc^c≥（abc）

a+b+c

3

．

Answer 1

證明：不妨設a≥b≥c＞0，則lga≥lgb≥lgc．
據排序不等式有：
alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algc
alga+blgb+clgc≥clga+algb+blgc
alga+blgb+clgc=alga+blgb+clgc
上述三式相加得：
3（alga+blgb+clgc）≥（a+b+c）（lga+lgb+lgc）
即lg（a^ab^bc^c）≥

a+b+c

3

lg（abc）
故a^ab^bc^c≥（abc）

a+b+c

3

．