Question

已知二次函數f（x）滿足條件f（0）=1，且有f（x+1）-f（x）=2x．在區間[-1，2]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象下方，則實數m的取值范圍為

m＞5

．

Answer 1

分析：設f（x）=ax²+bx+c，根據條件求出系數a、b和c的值，再由題意轉化為x²-x+1＜2x+m在[-1，2]恒成立，再分離出m，進一步轉化求y=x²-3x+1在[-1，2]上的最大．

解答：解：設二次函數f（x）=ax²+bx+c （a≠0），
∵f（0）=1，∴c=1，即f（x）=ax²+bx+1，
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x，
即2ax+a+b=2x，∴

2a=2 a+b=0

，解得

a=1 b=-1

，
∴f（x）=x²-x+1，
∵在區間[-1，2]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象下方，
∴x²-x+1＜2x+m，即m＞x²-3x+1，x∈[-1，2]，
∵y=x²-3x+1的對稱軸x=

3

2

，
∴當x=-1時，此函數有最大值為5，
∴m＞5．
故答案為：m＞5．

點評：本題考查了求函數解析式方法：待定系數法，以及恒成立問題，考查了轉化思想和分析、解決問題的能力．